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悬浮问题——绳索的张紧力分析

摘要:“悬浮凳”的出现,抓住了网友们的好奇心,本文对“悬浮凳”进行深入的分析,以破解其“悬浮”之谜。首先,简单介绍了平衡和柔性约束的概念及其特征。其次,将三维的“悬浮凳”平面化,详细分析其受力特征,推导出其平衡方程,揭开了“悬浮”的谜团。最后,通过“悬浮凳”介绍了这种张拉结构在生活中的具体应用,引导网友能够发现生活中的力学。

关键词:张拉整体结构;悬浮;平衡

作者:宋俊良,陈新浩,郜建豪,王永健。单位:南京农业大学

本文获得第四届江苏省力学创新创意竞赛微文类特等奖。

前段时间,网络上流传一种神奇的凳子,它分上下两部,通过几根绳索连接,如图1所示。一眼望去,凳子的上半部分似乎是悬浮在空中一样。可能受此启发,各类能工巧匠,开始发布自己制作同款凳子的视频,连Lego积木也推出了同款玩具,如图2所示。图2左中,两个Lego小人居然在绳子悬浮支架上打的热火朝天,如同漫威联盟一样,在高科技大楼上武斗,让人眼前乍然一亮。图2右中的悬浮城堡,有没有令你感到身处迪士尼梦幻乐园的感觉?有没有唤起你心底中那一份憧憬童话世界的梦想?有没有让你想刨根问底地探索它是如何构成?

图 1 悬浮凳子

图 2 乐高模型

凳子主要是用来承受人体或重物压力的,传统的凳子均由固体的木头或者金属构成,压力通过凳面,传递给四个立柱,最后传到地面上,如图3所示。然而在“悬浮凳”中,除了上下两个固体结构,还用到了绳索结构

图 3 传统凳子受力图

根据理论力学[1],绳索只能提供拉力,属于柔性约束。对比刚性约束,柔性约束可以将受约束对象保持在一定运动空间内,使受约束对象存在一定程度的位移,约束的强弱则取决于柔性约束的刚度。“悬浮凳”中,由于惯性思维的影响,这几根绳索似乎有了受压的支持力一样,像拥有了固定约束般的能力,令人感到惊奇万分。本文针对这种“悬浮凳”进行受力分析,揭开这种结构的悬浮之谜。

2.1 平衡

所谓平衡,即指物体处于相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态。理论力学详细推导了静力平衡时的公式,如式(1)所示,即物体的合力为零,合力矩也为零。

式(1)

其中,F为外力,Mo为外力对o的力矩,x、y、z为三个坐标轴。

理论上,只要满足式(1)的平衡方程,物体就是处于静止或者匀速直线运动的状态。但是,平衡并不代表稳定。平衡根据稳定性可以分为三类:稳定平衡、随遇平衡,以及不稳定平衡。如图4所示。

图4 三种平衡状态

图4中,稳定平衡状态下,即便出现外力扰动,也能恢复到原来的平衡状态。随遇平衡状态下,外力的扰动虽然会偏移原来的平衡位置,但停下来后合外力仍然为零,还是处于平衡状态。不稳定平衡则会在外力的扰动下,破坏掉原始的平衡状态,后续不再保持平衡了。2.2 柔性约束

对非自由体的某些位移起限制作用的物体称为约束,表现为力,即约束力。不同的约束,产生的约束力方向不同。由绳索、链条、皮带等柔性体对物体构成的约束称为柔性约束。这种柔性约束只能承受拉力,不能承受压力,其约束力方向是沿着绳索的方向,并且背离被约束物体,如图5所示。柔性约束仅限制了绳索方向的位移,在垂直绳索方向仍然可以自由运动。

图5 绳索的柔性约束

“悬浮凳”为一空间结构,为了说明问题,沿着中心线将其剖开,使之转化为平面问题,如图6所示。

图6 平面化后“悬浮凳”

“悬浮凳”的底部直接置于地面之上,其受到地面支撑力q、重力G1,以及绳索的拉力F1F2F3,扰动力F,地面摩擦力Ff,如图7所示。由于其与地面接触面加大,所受到的全部外力的投影均仍在这个地面接触面内,因此不会发生倾倒现象。即便受到微小水平外力的干扰,也可以由地面摩擦力来克服,使其保持稳定的平衡状态。其平衡方程如式(2)所示,其中未考虑微小扰动引起绳索拉力角度的变化。

图7 “悬浮凳”底部的受力

式(2)

“悬浮凳”的顶部受力如图8所示,有自身重力G2,以及绳索的拉力F1F2F3,其平衡方程如式(3)所示。在扰动力F的作用下,绳索的拉力方向发生偏转,设其偏转角为φ

图8 “悬浮凳”顶部的受力

式(3)

通过结构设计,可以将“悬浮凳”顶部结构的重心位于悬挂的绳索之处,理想状态下,式(3)可以简化为:

式(4)

此时,两侧两根绳索的拉力均为零。也就是说,理论上当重力与中间绳索共线时,该结构能够保持平衡。但是,这种重力在上,拉力在下的共线要求,实际上很难实现。重力的投影必须经过绳索的作用点,这个点没有面积,只要存在任意微小的横向扰动力F,就可以轻易破坏掉式(4)的平衡。

为此,两侧的绳索恰好提供了额外的拉力,当存在横向扰动力F时,两侧的绳索开始受拉力,偏转角引起的水平分量恰好可以抵消横向绕动力。即,当“悬浮凳”顶部结构由于某种原因发生向右倾倒时,左侧的绳索开始受力,牢牢拉住这个结构,阻止其向右倾倒。

基于上述分析,“悬浮登”结构中的中间绳索承受了绝大部分的顶部结构的重力,而四周的绳索则主要是提高整体结构的稳定性。这在我们的日常生活中经常能见到,如图9的电线杆。电线杆又细又长,立在地面上重心很高。当重心投影位于底部面积之内时,电线杆本身仅依靠地面向上的支撑力即可保持平衡。但是随着时间的推移,地面沉降、风吹日晒,重心投影必将移出底部面积,产生倾倒的重力矩,容易发生倾倒。通过四周额外的绳索,可以提供反向的力矩,抵消重力矩的影响。

图 9路边的电线杆

4.1 艺术品

这种“神奇”的悬浮感,能够让人耳目一新,引起了艺术界的注意。据说,美国的一位艺术生Snelson听了建筑师Fuller的课,自己设计出了图10这样的张拉整体结构,一般也认为Snelson是设计出张拉整体结构的第一人。这件艺术作品取名为“Snelson’s X”。2003年,结构设计师Mike Schlaich基于这个“Snelson’s X”,在Gardening Fair展会上用了十天时间,搭建起来这个Warnow塔,如图11所示。该塔高49.2米,是建过的最高的张拉整体塔[2] 。显然,这个Warnow塔仍然属于艺术领域,并不具备建筑的实用特性。

图10 艺术品Snelson’s X 图11 Warnow塔

4.2 家居用品

让张拉整体结构火起来的“悬浮凳”,就是一个家居用品,随着四周绳索的增多,其稳定性越来越好,完全可以正常使用。此外,由设计师Richard Koenig所设计的张拉整体的餐桌,通过六根钢管和若干跟绳索,稳稳地立于地面之上。

图12 张拉结构餐桌

4.3 建筑

张拉结构在建筑中更加常见,不过在这里已经不在追求“悬浮”感,更关注的是这种结构的优点。建筑中最常见的就是各类缆索桥,无论是斜拉索,还是悬索,都是利用了绳索结构的张力。在2022冬奥会上大放异彩的国家速滑馆“冰丝带”,其屋面结构也正是张拉结构。冰丝带屋面的主体是这样一张纵横交错的缆索编织而成的大网。东西向98根承重索,南北向60根稳定索,通过特制的夹具,汇聚而成。

图13 冰丝带屋面结构和剖面图

国家速滑馆是个体育馆,标准体育馆400m跑道,再加上看台,跨度198m*124m。如此大跨度结构,如果采用刚性的桁架结构,那么梁高度可达8-10m,光一根梁就得有3-4层楼那么高。而这种张拉结构组成一张大钢网,就像羽毛球拍一样,把屋顶结构从8-10m,直接降为0.5m以内。大大节省了空间,更节省了钢材,是传统钢结构的1/4[3-7]。

5、总结

“悬浮凳”让张拉结构再次呈现在广大网友面前,为了解释清楚“悬浮凳”的悬浮之谜,本文首先介绍了平衡和柔性约束的概念和特征。其次,详细地分析“悬浮凳”上下结构的受力情况,从力学理论上破解了悬浮之谜。最后,简单介绍了这种张拉结构的应用,让网友们能够发现生活中的力学。

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室. 理论力学[M]. 第8版. 高等教育出版社, 2016.

[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/32560859

[3] 王泽强,等,单层双向正交索网结构索长误差敏感性分析及控制限值研究,建筑结构,2021,51(20):68-75

[4] 章静, 曹灵泳. 张拉整体塔的研究与发展简介[C]. //第十届全国现代结构工程学术研讨会论文集, 同济大学建筑设计研究院, 2010.7.31.

[5] 张晋勋,等,国家速滑馆大跨度马鞍形索网结构关键施工技术,施工技术,2019,48(24):41-48

[6] 王哲,等,国家速滑馆钢结构设计,建筑结构,2018,48(20):5-11

[7] 孙卫华,等,国家速滑馆适应索网变形的柔性屋面构造体系研究,建筑技术,110-114

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