悬浮问题——绳索的张紧力分析

摘要：“悬浮凳”的出现，抓住了网友们的好奇心，本文对“悬浮凳”进行深入的分析，以破解其“悬浮”之谜。首先，简单介绍了平衡和柔性约束的概念及其特征。其次，将三维的“悬浮凳”平面化，详细分析其受力特征，推导出其平衡方程，揭开了“悬浮”的谜团。最后，通过“悬浮凳”介绍了这种张拉结构在生活中的具体应用，引导网友能够发现生活中的力学。

关键词：张拉整体结构；悬浮；平衡

作者：宋俊良，陈新浩，郜建豪，王永健。单位：南京农业大学

本文获得第四届江苏省力学创新创意竞赛微文类特等奖。

前段时间，网络上流传一种神奇的凳子，它分上下两部，通过几根绳索连接，如图1所示。一眼望去，凳子的上半部分似乎是悬浮在空中一样。可能受此启发，各类能工巧匠，开始发布自己制作同款凳子的视频，连Lego积木也推出了同款玩具，如图2所示。图2左中，两个Lego小人居然在绳子悬浮支架上打的热火朝天，如同漫威联盟一样，在高科技大楼上武斗，让人眼前乍然一亮。图2右中的悬浮城堡，有没有令你感到身处迪士尼梦幻乐园的感觉？有没有唤起你心底中那一份憧憬童话世界的梦想？有没有让你想刨根问底地探索它是如何构成？

图 1 悬浮凳子

图 2 乐高模型

凳子主要是用来承受人体或重物压力的，传统的凳子均由固体的木头或者金属构成，压力通过凳面，传递给四个立柱，最后传到地面上，如图3所示。然而在“悬浮凳”中，除了上下两个固体结构，还用到了绳索结构。

图 3 传统凳子受力图

根据理论力学[1]，绳索只能提供拉力，属于柔性约束。对比刚性约束，柔性约束可以将受约束对象保持在一定运动空间内，使受约束对象存在一定程度的位移，约束的强弱则取决于柔性约束的刚度。“悬浮凳”中，由于惯性思维的影响，这几根绳索似乎有了受压的支持力一样，像拥有了固定约束般的能力，令人感到惊奇万分。本文针对这种“悬浮凳”进行受力分析，揭开这种结构的悬浮之谜。

2.1 平衡

所谓平衡，即指物体处于相对于地面保持静止或匀速直线运动的状态。理论力学详细推导了静力平衡时的公式，如式（1）所示，即物体的合力为零,合力矩也为零。

式（1）

其中，F为外力，Mo为外力对o的力矩，x、y、z为三个坐标轴。

理论上，只要满足式（1）的平衡方程，物体就是处于静止或者匀速直线运动的状态。但是，平衡并不代表稳定。平衡根据稳定性可以分为三类：稳定平衡、随遇平衡，以及不稳定平衡。如图4所示。

图4 三种平衡状态

图4中，稳定平衡状态下，即便出现外力扰动，也能恢复到原来的平衡状态。随遇平衡状态下，外力的扰动虽然会偏移原来的平衡位置，但停下来后合外力仍然为零，还是处于平衡状态。不稳定平衡则会在外力的扰动下，破坏掉原始的平衡状态，后续不再保持平衡了。2.2 柔性约束

对非自由体的某些位移起限制作用的物体称为约束，表现为力，即约束力。不同的约束，产生的约束力方向不同。由绳索、链条、皮带等柔性体对物体构成的约束称为柔性约束。这种柔性约束只能承受拉力，不能承受压力，其约束力方向是沿着绳索的方向，并且背离被约束物体，如图5所示。柔性约束仅限制了绳索方向的位移，在垂直绳索方向仍然可以自由运动。

图5 绳索的柔性约束

“悬浮凳”为一空间结构，为了说明问题，沿着中心线将其剖开，使之转化为平面问题，如图6所示。

图6 平面化后“悬浮凳”

“悬浮凳”的底部直接置于地面之上，其受到地面支撑力q、重力G1，以及绳索的拉力F1、F2、F3，扰动力F，地面摩擦力Ff，如图7所示。由于其与地面接触面加大，所受到的全部外力的投影均仍在这个地面接触面内，因此不会发生倾倒现象。即便受到微小水平外力的干扰，也可以由地面摩擦力来克服，使其保持稳定的平衡状态。其平衡方程如式（2）所示，其中未考虑微小扰动引起绳索拉力角度的变化。

图7 “悬浮凳”底部的受力

式（2）

“悬浮凳”的顶部受力如图8所示，有自身重力G2，以及绳索的拉力F1、F2、F3，其平衡方程如式（3）所示。在扰动力F的作用下，绳索的拉力方向发生偏转，设其偏转角为φ。

图8 “悬浮凳”顶部的受力

通过结构设计，可以将“悬浮凳”顶部结构的重心位于悬挂的绳索之处，理想状态下，式（3）可以简化为：

式（4）

此时，两侧两根绳索的拉力均为零。也就是说，理论上当重力与中间绳索共线时，该结构能够保持平衡。但是，这种重力在上，拉力在下的共线要求，实际上很难实现。重力的投影必须经过绳索的作用点，这个点没有面积，只要存在任意微小的横向扰动力F，就可以轻易破坏掉式（4）的平衡。

为此，两侧的绳索恰好提供了额外的拉力，当存在横向扰动力F时，两侧的绳索开始受拉力，偏转角引起的水平分量恰好可以抵消横向绕动力。即，当“悬浮凳”顶部结构由于某种原因发生向右倾倒时，左侧的绳索开始受力，牢牢拉住这个结构，阻止其向右倾倒。

基于上述分析，“悬浮登”结构中的中间绳索承受了绝大部分的顶部结构的重力，而四周的绳索则主要是提高整体结构的稳定性。这在我们的日常生活中经常能见到，如图9的电线杆。电线杆又细又长，立在地面上重心很高。当重心投影位于底部面积之内时，电线杆本身仅依靠地面向上的支撑力即可保持平衡。但是随着时间的推移，地面沉降、风吹日晒，重心投影必将移出底部面积，产生倾倒的重力矩，容易发生倾倒。通过四周额外的绳索，可以提供反向的力矩，抵消重力矩的影响。

图 9路边的电线杆

4.1 艺术品

这种“神奇”的悬浮感，能够让人耳目一新，引起了艺术界的注意。据说，美国的一位艺术生Snelson听了建筑师Fuller的课，自己设计出了图10这样的张拉整体结构，一般也认为Snelson是设计出张拉整体结构的第一人。这件艺术作品取名为“Snelson’s X”。2003年，结构设计师Mike Schlaich基于这个“Snelson’s X”，在Gardening Fair展会上用了十天时间，搭建起来这个Warnow塔，如图11所示。该塔高49.2米，是建过的最高的张拉整体塔[2] 。显然，这个Warnow塔仍然属于艺术领域，并不具备建筑的实用特性。

图10 艺术品Snelson’s X 图11 Warnow塔

4.2 家居用品

让张拉整体结构火起来的“悬浮凳”，就是一个家居用品，随着四周绳索的增多，其稳定性越来越好，完全可以正常使用。此外，由设计师Richard Koenig所设计的张拉整体的餐桌，通过六根钢管和若干跟绳索，稳稳地立于地面之上。

图12 张拉结构餐桌

4.3 建筑

张拉结构在建筑中更加常见，不过在这里已经不在追求“悬浮”感，更关注的是这种结构的优点。建筑中最常见的就是各类缆索桥，无论是斜拉索，还是悬索，都是利用了绳索结构的张力。在2022冬奥会上大放异彩的国家速滑馆“冰丝带”，其屋面结构也正是张拉结构。冰丝带屋面的主体是这样一张纵横交错的缆索编织而成的大网。东西向98根承重索，南北向60根稳定索，通过特制的夹具，汇聚而成。

图13 冰丝带屋面结构和剖面图

国家速滑馆是个体育馆，标准体育馆400m跑道，再加上看台，跨度198m*124m。如此大跨度结构，如果采用刚性的桁架结构，那么梁高度可达8-10m，光一根梁就得有3-4层楼那么高。而这种张拉结构组成一张大钢网，就像羽毛球拍一样，把屋顶结构从8-10m，直接降为0.5m以内。大大节省了空间，更节省了钢材，是传统钢结构的1/4[3-7]。

“悬浮凳”让张拉结构再次呈现在广大网友面前，为了解释清楚“悬浮凳”的悬浮之谜，本文首先介绍了平衡和柔性约束的概念和特征。其次，详细地分析“悬浮凳”上下结构的受力情况，从力学理论上破解了悬浮之谜。最后，简单介绍了这种张拉结构的应用，让网友们能够发现生活中的力学。

[1]哈尔滨工业大学理论力学教研室. 理论力学[M]. 第8版. 高等教育出版社, 2016.

[2] https://zhuanlan.zhihu.com/p/32560859

[3] 王泽强，等，单层双向正交索网结构索长误差敏感性分析及控制限值研究，建筑结构，2021,51（20）：68-75

[4] 章静, 曹灵泳. 张拉整体塔的研究与发展简介[C]. //第十届全国现代结构工程学术研讨会论文集, 同济大学建筑设计研究院, 2010.7.31.

[5] 张晋勋，等，国家速滑馆大跨度马鞍形索网结构关键施工技术，施工技术，2019,48（24）：41-48

[6] 王哲，等，国家速滑馆钢结构设计，建筑结构，2018，48（20）：5-11

[7] 孙卫华，等，国家速滑馆适应索网变形的柔性屋面构造体系研究，建筑技术，110-114